Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy

Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno.

doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D. a kolektiv

(doc. Mgr. Jiří Málek, PhD., PhDr. Petr Jablonský, Ing. Miroslav Rada)

Finanční matematika pro každého – příklady

+ CD-ROM

2. přepracované vydání

TIRÁŽ TIŠTĚNÉ PUBLIKACE:

Vydala GRADA Publishing, a.s.

U Průhonu 22, Praha 7, jako svou 4573. publikaci

Realizace obálky Jan Dvořák

Foto na obálce fotobanka allphoto.cz

Sazba Antonín Plicka

Odpovědná redaktorka Ing. Michaela Průšová

Počet stran 256

Druhé vydání, Praha 2011

Vytiskly Tiskárny Havlíčkův Brod, a.s.

© GRADA Publishing, a.s., 2011

GRADA Publishing: tel.: 234 264 401, fax: 234 264 400, www.grada.cz

ISBN 978-80-247-3584-9

ELEKTRONICKÉ PUBLIKACE:

ISBN 978-80-247-7183-0 pro formát PDF

ISBN 978-80-247-7184-7 pro formát EPUB

1. Jednoduché úročení

Jednoduché úročení je typ úročení, které se používá při uložení kapitálu na dobu kratší než jedno úrokové období. Úročí se stále základní jistina a vyplácené úroky se k ní nepřičítají a dále se neúročí. Úroky jsou vypláceny dle typu jednoduchého úročení na začátku nebo na konci úrokového období.

1.1 Jednoduché úročení polhůtní

VZORCE

ú úrok;

Kn budoucí hodnota kapitálu, splatná částka;

K_0 současná hodnota kapitálu, jistina;

i roční úroková sazba (sazba p.a.);

d srážková daň z úroků[1];

n doba uložení kapitálu v letech[2].

Doba n se stanovuje podle tzv. standardů (konvencí):

1. 30E/360 standard (evropský standard, obchodní/německá metoda) v čitateli používá měsíce s 30 dny a ve jmenovateli rok s 360 dny. Doba n mezi daty D_1.M_1.R_1 a D_2.M_2.R_2 (D označuje den, M označuje měsíc, R označuje rok) se tedy vypočte jako:

kde t značí počet dnů.

Pokud D_1 = 31 (resp. D_2 = 31) je nutné změnit před dosazením do vzorce D_1 = 30 (resp. D_2 = 30).

Tento standard se používá například při vypořádání obchodů na pražské burze.

2. 30A/360 standard (americký standard) se liší od standardu 30E/360 jen v případě, kdy D_1 není 30 nebo 31 a zároveň D_2 je 31. V tomto případě se pak při dosazení do vzorce ponechává hodnota D_2 = 31.

3. ACT/360 standard (mezinárodní standard, francouzská metoda) používá v čitateli měsíce se skutečným počtem dnů a ve jmenovateli rok s 360 dny. Využívá se při obchodování s krátkodobými cennými papíry, jako jsou směnky a pokladniční poukázky.

4. ACT/365 standard (anglická metoda) používá v čitateli měsíce se skutečným počtem dní a ve jmenovateli rok se skutečným počtem dní (v případě přestupného roku je ve jmenovateli 366).

K výpočtu doby t je možné s výhodou použít některý z tabulkových kalkulátorů, jak si ukážeme dále.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Řešený příklad 1.1.1

Jakou částku budete vracet bance, jestliže jste si od ní půjčili 55 000 Kč na 6 měsíců při roční úrokové míře 9 %?

Řešení:

Za 6 měsíců musíme vrátit 57 475 Kč.

Řešený příklad 1.1.2

Půjčili jste si od věřitele 10 000 Kč a za rok mu musíte vrátit 11 000 Kč. Jaká je výnosnost pro věřitele? Předpokládá se roční úroková sazba.

Řešení:

Výnosnost pro věřitele je 10 % p.a.

Řešený příklad 1.1.3

Za kolik dnů vzroste vklad 1 500 Kč na 1 600 Kč při roční úrokové míře 8 % a použitém standardu ACT/360?

Řešení:

1 500 Kč se zúročí na 1 600 Kč při 8% úrokové míře za 300 dnů.

Řešený příklad 1.1.4

Uložili jste na vkladní knížku u peněžního ústavu 2 000 Kč. Úroková sazba je 4 % p.a. a úroky z vkladu jsou daněny srážkovou daní ve výši 15 %. Jakou částku si můžete vybrat za 3 měsíce?

Řešení:

Za tři měsíce si můžeme vybrat 2 017 Kč.

Řešený příklad 1.1.5

Zájemce má možnost zaplatit za nákup pozemku okamžitě 100 000 Kč nebo za rok 108 000 Kč. Hotovost může reinvestovat při úrokové sazbě 7,2 %. Která varianta je pro něj výhodnější?

Řešení:

Porovnáme současné hodnoty obou variant:

Výhodnější je zaplatit okamžitě. Abychom mohli zaplatit za rok 108 000 Kč, museli bychom totiž dnes investovat více než 100 000 Kč.

Řešený příklad 1.1.6

Půjčili jste si peníze[3]. Věřitel Vám nabídne 3 možnosti splácení:

a) za 11 měsíců 20 000,

b) za 8 měsíců 19 000,

c) za 2 měsíce 2 000 a za 12 měsíců 18 000.

Kterou možnost zvolíte, činí-li běžná úroková sazba 16 % p.a.?

Řešení:

Porovnáme současné hodnoty variant:

Varianta a):

Varianta b):

Varianta c):

Pro dlužníka je nejvýhodnější zaplatit co nejmenší částku. Proto si vybere variantu b).

Řešený příklad 1.1.7

Na kolik se zúročí 10 000 Kč při různých standardech a úrokové míře 10 % p.a. v období od 15. 1. 1996 do 7. 9. 1996, od 10. 1. 1997 do 3. 3. 1997 a od 29. 10. 1999 do 31. 12. 1999?

Řešení:

Použijeme tabulkového procesoru MS Excel.

Počet dnů mezi jednotlivými kalendářními daty získáme následujícím způsobem:

1. Skutečný počet dnů: změníme formát buněk s danými daty na Číslo (Formát – Buňky – karta Číslo). Získáme tak počty dnů od 1. 1. 1900. Poté buňky od sebe odečteme. Pro přehlednější zobrazení nastavíme počet desetinných míst na 0. Při dalších výpočtech (jmenovitě při výpočtu n pro ACT/365) pak budeme muset vzít v úvahu, že rok 1996 byl přestupný.

2. Počet dnů podle různých standardů získáme pomocí funkce Rok360 (Vložit – Funkce – typ funkce: Datum a čas). Pro standard 30E zadáme: Metoda 1, pro standard 30A: Metoda 0.

3. Tabulka výsledků má následující podobu:

4. Tabulka výsledků se zobrazenými vzorci:

Řešený příklad 1.1.8

Dlužník nabídne věřiteli 2 možnosti splacení dluhu:

a) zaplatit částku 10 000 za dva měsíce,

b) zaplatit za 4 měsíce částku 5 000 a za rok částku 6 000.

Co je pro Vás jako věřitele výhodnější při ročním připisování úroků, je-li běžná roční úroková sazba 10 %?

Řešení:

Opět porovnáme současné hodnoty variant:

Varianta a):

Varianta b):

Pro věřitele je nejvýhodnější vrácení co největší částky, proto zvolí variantu b).

Řešený příklad 1.1.9

Půjčili jste si 150 000 Kč. Roční úroková sazba je 8,5 %. Měsíčně budete splácet 1 208 Kč po dobu 25 let. Jakou hodnotu domu zaplatí první splátka (o kolik se sníží dluh po prvním měsíci splácení)?

Řešení:

Každá splátka se rozkládá na část, která splácí úrok, a na část, která splácí jistinu (tzv. úmor).

Úrok ze 150 000 za jeden měsíc činí:

Zbytek splátky, tj. 1 208 – 1 062,50 = 145,50 jde na snížení dluhu.

První měsíční splátka tedy sníží dluh o 145,50 Kč.

PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ

Příklad k procvičení 1.1.1

Půjčili jste si 50 000 Kč na 3 měsíce. Jakou částku musíte vrátit, jestliže věřitel účtuje 15% úrokovou sazbu p.a.?

[51 875 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.2

Půjčili jste 10 000 Kč. Za 5 měsíců Vám vrátili 11 000 Kč. Jaká byla výnosnost této půjčky (při jaké úrokové sazbě jste ji poskytli)?

[24 % p.a.]

Příklad k procvičení 1.1.3

Za kolik dnů vzroste vklad 500 000 Kč na 505 000 Kč při úrokové sazbě 12 % p.a. a použitém standardu ACT/360? Úroky podléhají srážkové dani 15 %.

[35,29 dne]

Příklad k procvičení 1.1.4

Máte možnost koupit motocykl. Můžete:

a) buď zaplatit okamžitě zálohu 100 000 Kč a za 3 měsíce doplatit 50 000 Kč,

b) nebo platit vždy 55 000 Kč na konci každého z následujících 3 měsíců.

Kterou možnost zvolíte, jestliže můžete alternativně investovat peníze za 5 % p.a.?

[a) K_0 = 149 382,72 Kč, b) K_0 = 163 638,23 Kč – zvolíme a)]

Příklad k procvičení 1.1.5

Jste v pozici dlužníka. Svůj dluh můžete:

a) vyrovnat okamžitě složením 100 000 Kč,

b) zaplatit za rok 110 000 Kč,

c) zaplatit za 6 měsíců 50 000 a za rok 55 000 Kč.

Kterou variantu zvolíte, je-li možné hotovost reinvestovat při úrokové sazbě 12 % p.a.?

[a) K_0 = 100 000 Kč, b) K_0 = 98 214,29 Kč, c) K_0 = 96 276,95 Kč – dlužník zvolí c)]

Příklad k procvičení 1.1.6

Dlužník Vám nabídne 2 možnosti splacení svého dluhu:

a) zaplatit za 5 měsíců 10 tis. Kč,

b) zaplatit za 10 měsíců 11 tis. Kč.

Kterou možnost si zvolíte při 6% úrokové sazbě p.a.?[4]

[a) K_0 = 9 756,10 Kč, b) K_0 = 10 476,19 Kč – věřitel zvolí b)]

Příklad k procvičení 1.1.7

Kolik peněz včetně úroků budeme mít na účtu za 5 měsíců, jestliže si dnes uložíme 100 000 Kč při 9 % p.a. a pololetním úrokovém období a banka z připisovaných úroků strhne srážkovou daň ve výši 15 %?

[103 187,50 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.8

Vzali jste si hypoteční úvěr 1 mil. Kč na nákup pozemku. Roční úroková sazba je 4,5 % p.a. Měsíčně budete splácet 10 000 Kč, v čemž je započtena i úroková platba. Jakou hodnotu nemovitosti zaplatí první splátka?

[6 250 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.9

Jaká je splatná částka úvěru ve výši 35 000 Kč na 6 měsíců při roční úrokové sazbě 8 % p.a.?

[36 400 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.10

Zájemce může koupit nemovitost buď nyní za 50 000 EUR nebo za rok za 54 000 EUR. Co je pro něho výhodnější, pokud si může peníze uložit na dobu jednoho roku při sazbě 7,2 % p.a.?

[Nyní]

Příklad k procvičení 1.1.11

Chcete si koupit Octavii za 578 000 Kč. Splatnost faktury je 180 dní, avšak při okamžité platbě obdržíte slevu 5 %. Hotovost aktuálně bohužel nemáte a tak zvažujete možnost půjčit si na okamžitou platbu bankovní úvěr. Při jaké roční úrokové sazbě z úvěru jsou obě platby ekvivalentní (abstrahujeme od bankovních poplatků, provizí a nákladů v podobě ztráty času apod.)?

[10,53 %]

Příklad k procvičení 1.1.12

Klient si uložil u banky 95 000 Kč dne 15. 3. 2011. Kolik si může vybrat dne 6. 11. 2011, jestliže vklad je úročen roční úrokovou sazbou 5 %? Neuvažujeme daň z úroků. Vypočítejte pro ACT/360, ACT/365 a 30E/360.

[98 114 Kč, 98 071 Kč, 98 048 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.13

Jaké jsou úrokové náklady úvěru ve výší 200 000 Kč jednorázově splatného za 8 měsíců (240 dnů), je-li úroková sazba 9 % p.a.? (30E/360)

[12 000 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.14

Jak velký vklad vzroste při úrokové sazbě 10 % p.a. za 72 dní o 150 Kč? (Rok má 360 dní, od daně abstrahujeme.)

[7 500 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.15

Jak velkou částku se splatností 4 měsíce si můžeme půjčit, máme-li možnost po této době použít na splacení úvěru a úroku 100 000 Kč?

[PV = 100 000 /(1+i/3)]

Příklad k procvičení 1.1.16

Odběratel nezaplatil dodavateli fakturu znějící na 150 000 Kč splatnou 3. 3. 2011. Podle smlouvy má odběratel právo účtovat penále ve výši 0,05 % z fakturované částky za každý den prodlení. Jak velké bude penále 11. 11. 2011?

[5 250 Kč]

Příklad k procvičení 1.1.17

Banka nabízí dvě varianty placení úroku u ročního úvěru:

a) sazba 10 % p.a. splatných při splatnosti úvěru,

b) sazba 9,5 % p.a. splatných k datu poskytnutí úvěru.

Která varianta je pro dlužníka výhodnější?

[a)]

Příklad k procvičení 1.1.18

Určete úrok, který nám banka připíše na účet na konci roku, jestliže máme na účtu na začátku roku 10 000 Kč, účet je úročen 0,7 % p.a. při použití konvence 30E/360 a během roku proběhly tyto transakce:

1. výběr 2 500 dne 25. 2. 2006 5. vklad 3 000 dne 10. 9. 2006

2. výběr 3 500 dne 10. 4. 2006 6. výběr 5 500 dne 30. 10. 2006

3. vklad 4 500 dne 15. 6. 2006 7. vklad 2 500 dne 12. 12. 2006.

4. vklad 3 500 dne 25. 8. 2006

[63,92 Kč]

1.2 Diskont

VZORCE

D obchodní diskont;

Kn budoucí hodnota kapitálu, splatná částka;

K_0 současná hodnota kapitálu, jistina;

d roční diskontní sazba (sazba p.a.);

n doba uložení kapitálu v letech.

Na obchodním diskontu jsou založeny obchody s některými cennými papíry (směnky, pokladniční poukázky, depozitní certifikáty). Budoucí hodnota je při nich chápána jako směnečná suma či jmenovitá hodnota pokladniční poukázky; současná hodnota kapitálu je pak chápána jako částka po srážce obchodního diskontu.

Všimněme si, že na rozdíl od úroku, který se počítá ze současné hodnoty kapitálu K_0, se diskont počítá z budoucí hodnoty kapitálu Kn.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Řešený příklad 1.2.1

Podnikatel eskontoval dne 15. 11. 2007 na banku směnku znějící na částku 1,5 mil. Kč se splatností dne 15. 12. 2007. Jakou částku mu banka dne 15. 11. (tj. v den eskontu) připsala na účet?[5] Banka používá diskontní míru 10 %.

Řešení:

Při obchodech se směnkami se používá standard ACT/360.

Mezi 15. 11. a 15. 12. uplyne 30 dnů.

V den eskontu banka vyplatila podnikateli 1 487 500 Kč.

Řešený příklad 1.2.2

Osoba A vystavila 15. 6. 2007 osobě B směnku s jmenovitou hodnotou 3 000 dolarů s roční úrokovou sazbou 7 %. Datum splatnosti směnky je 15. 12. 2007. 28. 7. 2007 osoba B eskontovala směnku na banku, která účtuje roční diskontní sazbu 8 %. Jakou částku osoba B od banky obdržela?

Řešení:

a) Spočítáme splatnou částku Kn směnky pomocí jednoduchého úročení (mezi 15. 6. 2007 a 15. 12. 2007 uplyne 183 dnů).

b) Spočítáme vyplacenou částku po srážce diskontu (mezi 28. 7. 2007 a 15. 12. 2007 uplyne 140 dnů).

Osoba B obdržela od banky 3 010,10 USD.

Řešený příklad 1.2.3

Banka odkoupila směnku znějící na 230 000 Kč s dobou splatnosti 1 rok.

a) Jakou používá banka diskontní sazbu, jestliže za směnku vyplatila 200 000 Kč?

b) Jaká je míra zisku pro banku?

Řešení:

a) Diskontní sazba:

Banka používá diskontní sazbu ve výši 13,08 % p.a.[6]

b) Míra zisku pro banku (míra zisku je pouze jiný název pro roční úrokovou sazbu):

Míra zisku pro banku byla 15 % p.a.

Řešený příklad 1.2.4

Firma eskontovala dne 2. 11. 2010 na banku následující směnky:

Splatná částka v Kč Datum splatnosti

1. Směnka A 10 000 9. 11. 2010

2. Směnka B 15 000 2. 12. 2010

3. Směnka C 8 000 7. 12. 2010

Jakou částku firma od banky obdržela, pokud banka používá diskontní sazbu 10 % p.a.?

Řešení:

a)

b)

c)

Celkem: Směnka A + Směnka B + Směnka C = 32 777,78 Kč.

Firma od banky obdržela 32 778 Kč.

Řešený příklad 1.2.5

Stavební firma vydala směnku znějící na částku 1 650 000 se splatností 1. 6. 2011. Obchodní společnost zakoupila tuto směnku 8. 3. 2011 při diskontní sazbě 9,5 % a 5. 4. 2011 směnku prodala při diskontní sazbě 9,3 %. Jaká byla míra zisku pro tuto obchodní společnost?

Řešení:

a) Spočteme nákupní cenu směnky – částku po srážce obchodního diskontu (mezi 8. 3. a 1. 6. uplyne 85 dnů):

b) Spočteme prodejní cenu směnky – částku po srážce obchodního diskontu (mezi 5. 4. a 1. 6. uplyne 57 dnů):

c) Nyní můžeme spočítat míru zisku (mezi 8. 3. a 5. 4. uplyne 28 dnů):

Míra zisku pro obchodní firmu činila 10,13 % p.a.

Řešený příklad 1.2.6

Pokladniční poukázka s jmenovitou hodnotou 1 mil. Kč byla emitována 6. 5. se splatností 3. 6. Zpětný odkup proběhne za 998 560 Kč (tj. za jmenovitou hodnotu sníženou o zdanění). Za jakou cenu byly poukázky prodávány, pokud daň činí 15 % z výnosu? Jaká byla míra zisku pro kupujícího pokladniční poukázky?

Řešení:

Při obchodech s pokladničními poukázkami se používá standard ACT/360 a mezi 6. 5. a 3. 6. uplyne 28 dnů.

a) Cena v době emise:

Daň činí 15 % z výnosu, výnos před zdaněním je tedy:

Prodejní cenu spočteme jako jmenovitou hodnotu sníženou o výnos:

Poukázky byly prodávány za 990 400 Kč.

b) Míra zisku pro kupujícího pokladniční poukázky:

Míra zisku pro kupujícího pokladniční poukázky byla 10,59 % p.a.

Řešený příklad 1.2.7

Za kolik dnů byla splatná směnka znějící na částku 100 000 Kč, jestliže za ni banka vyplatila částku 97 250 Kč při diskontní sazbě 15 % p.a.?

Řešení:

Do splatnosti směnky zbývalo 66 dnů.

Řešený příklad 1.2.8

Ukažte, že při rovnosti i = d je pro věřitele výhodnější poskytnout půjčku založenou na obchodním diskontu než na jednoduchém úroku.

Řešení:

Porovnáme míru zisku pro věřitele při jednoduchém úročení a při obchodním diskontu.

Konec ukázky

Table of Contents

1. Jednoduché úročení

1.1 Jednoduché úročení polhůtní

VZORCE

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ

1.2 Diskont

VZORCE

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ

2. Složené úročení

2.1 Složené úročení polhůtní

2.2 Smíšené úročení

2.3 Efektivní úroková sazba

2.4 Úroková intenzita – spojité úročení

2.5 Inflace, nominální a reálná úroková míra

3. Investiční rozhodování

3.1 Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento

3.2 Doba návratnosti

4. Spoření – budoucí hodnota anuity

5. Důchody – současná hodnota anuity

6. Umořování dluhu

7. Dluhopisy

7.1 Cena dluhopisu

7.2 Rendita a běžná výnosnost dluhopisu

7.3 Realizovaná výnosnost dluhopisu

7.4 Durace dluhopisu

8. Úrokové sazby

8.1 Časová struktura úrokových sazeb – výnosové křivky

8.2 Spotové a forwardové úrokové sazby

9. Akcie

9.1 Cena akcie

9.2 Hodnota odběrního práva akcie

9.3 Výnosnost a riziko akcie

10. Měření výkonnosti portfolia

10.1 Výnosnost portfolia

10.2 Riziko portfolia

10.3 Měření výkonnosti portfolia

11. Měnové kurzy

11.1 Křížové měnové kurzy

11.2 Termínové měnové kurzy